Aturan (Teorema) Bayes

AbdUmar 09:37 0 Komentar

Thomas Bayes (1701 - 7 April 1761) adalah seorang ahli statistik, filsuf, dan pendeta Presbiterian Inggris yang dikenal karena merumuskan kasus spesifik dari teorema yang menyandang namanya: Teorema Bayes. Bayes tidak pernah menerbitkan apa yang akan menjadi pencapaiannya, catatannya diedit dan diterbitkan setelah kematiannya oleh Richard Price.

Dalam aturan probabilitas dan statistika, aturan (teorema) Bayes adalah sebuah aturan dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, aturan ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Aturan Bayes memungkinkan kita dapat menentukan peluang berbagai kejadian B yang dapat menyebabkan A terjadi.

Rumus teorema bayes scr umum

Contoh1:

Misalkan Anda bercakap-cakap dengan seorang lain di kampus. Tanpa informasi tambahan, peluang anda bercakap-cakap dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan Anda menyebut bahwa orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini tampaknya lebih boleh jadi Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk menghitung besarnya peluang bahwa Anda berbicara dengan seorang wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang.

Misalkan:

    W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.
    L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang
    M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria

Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya peluang Anda berbicara dengan wanita,

$P(W)=0,5$
Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai:
$P(L|W)=0,75$

Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain:

$P(L|M)=0,3$

Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita, atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.

Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L). Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:

$P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L|W)P(W)+P(L|M)P(M)}}$

Di sini kita menggunakan aturan peluang total. Dengan memasukkan nilai-nilai peluang yang diketahui ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan peluang seseorang itu wanita bila diketahui dia berambut panjang adalah 0,714. Angka ini sesuai dengan intuisi awal kita, bahwa peluang Anda itu bercakap-cakap dengan wanita meningkat.

Contoh 2:

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin dan status bekerja seperti pada tabel berikut

Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagai obyek wisata keseluruh negeri.

Dan diketahui bahwa ada 36 orang yang bersetatus bekerja dan 12 orang berstatus menganggur adalah anggota koperasi.Berapa peluang orang yang terpilih ternyata anggota koperasi?

Jawab:

Misal: E = orang yang terpilih berstatus bekeja
A = orang yang terpilih anggota koperasi

Dari tabel diperoleh: